第1回統計力学

Fermi-Dirac(FD)統計
Bose-Einstein(BE)統計

今回の目的は以下の5つであった。

フェルミ統計について

中性子、電子、陽子はフェルミ粒子(フェルミオン)である。「パウリの排他率」によって量子数\(k\)の状態を占有する量子数は \[ n_k=0　または　1 \] である。
フェルミ粒子のスピンは \[ s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...(半整数) \]
フェルミ粒子の波動関数は、変数の入れ替えで"反対称"。つまり \[ c=-1 \] ex)粒子が2つの場合 \[ \psi(x_1,x_2)=c\psi(x_2,x_1) \]

まずはじめに量子統計の性質である粒子が区別できないという考えの下、2つの粒子の波動関数の重ね合わせについて考える。粒子の区別ができないので、位置\(x_1\)または\(x_2\)に状態\(k\)の粒子、位置\(x_2\)または\(x_1\)に状態\(k'\)か\(k\)の粒子があったとする。このときの波動関数は \[ \psi(x_1,x_2)=\psi_k(1)\psi_{k'}(2) \] と \[ \psi(x_2,x_1)=\psi_k(2)\psi_{k'}(1) \] の重ね合わせでかける。すなわち \[ \psi(1,2)=A\psi_k(1)\psi_{k'}(2)+B\psi_k(2)\psi_{k'}(1) \]1,2を入れ替えて \[ \psi(2,1)=A\psi_k(2)\psi_{k'}(1)+B\psi_k(1)\psi_{k'}(2) \] とかける。ex)に示した式 \[ \psi(x_1,x_2)=c\psi(x_2,x_1) \]に \[ c=-1 \] を代入して計算すると \[ \psi(1,2)=A[\psi_k(1)\psi_{k'}(2)-\psi_k(2)\psi_{k'}(1)] \] 規格化すると \[ \psi(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_k(1)\psi_{k'}(2)-\psi_k(2)\psi_{k'}(1)] \]と波動関数が求められる。

ボース統計について

光子、ヒッグス粒子はボース粒子(ボソン)である。量子数kの状態を占有する粒子数は \[ n_k=0,1,2,3,...,\infty \]
ボース粒子のスピンは \[ s=0,1,2,... \]
変数の入れ替えで"対称"つまり \[ c=1 \] ex)粒子が2つの場合 \[ \psi(x_1,x_2)=c\psi(x_2,x_1) \]

今回もフェルミ粒子でやったことと同じことを考える。重ね合わせた波動関数の符号が\(+\)になることから \[ \psi(1,2)=A[\psi_k(1)\psi_{k'}(2)+\psi_k(2)\psi_{k'}(1)] \] となり、規格化して \[ \psi(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_k(1)\psi_{k'}(2)+\psi_k(2)\psi_{k'}(1)] \]となる。

2粒子が同じ位置になる確率は \[ \psi(x,x)=\frac{1}{\sqrt{2}}2\psi_k(x)\psi_{k'}(x) \] より \[ |\psi(x,x)|^2=2|\psi_k(x)\psi_{k'}(x)| \] 古典統計力学での確率を \[ P_古=|\psi_k(x)\psi_{k'}(x)| \]とすれば \[ |\psi(x,x)|^2=2P_古 \]が得られる。(引力)

3粒子の波動関数

まずはじめに区別できる古典粒子が3つの場合の波動関数は \[ \psi(1,2,3)=\psi_{k_1}(1)\psi_{k_2}(2)\psi_{k_3}(3) \] であることを確認しておく。これを踏まえて、フェルミオンとボソンの粒子が区別できない場合の波動関数を求める。

フェルミオン

フェルミ粒子が3個の場合の波動関数は \begin{align} \psi(1,2,3)&=\frac{1}{\sqrt{3!}} \begin{bmatrix} \psi_{k_1}(1) & \psi_{k_2}(1) & \psi_{k_3}(1) \\ \psi_{k_1}(2) & \psi_{k_2}(2) & \psi_{k_3}(2) \\ \psi_{k_1}(3) & \psi_{k_2}(3) & \psi_{k_3}(3) \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{\sqrt{3!}}[\{\psi_{k_1}(1)\psi_{k_2}(2)\psi_{k_3}(3)+\psi_{k_2}(1)\psi_{k_3}(2)\psi_{k_1}(3)+\psi_{k_3}(1)\psi_{k_1}(2)\psi_{k_2}(3)\}\\&-\{\psi_{k_1}(1)\psi_{k_3}(2)\psi_{k_2}(3)+\psi_{k_2}(1)\psi_{k_1}(2)\psi_{k_3}(3)+\psi_{k_3}(1)\psi_{k_2}(2)\psi_{k_1}(3)\}] \end{align}

である。3粒子が同じ位置にくる確率\(|\psi(x,x,x)|^2\)は \[ \psi(x,x,x)=0 \] より \[ |\psi(x,x,x)|^2=0 \] となる。これからもフェルミ統計の場合は粒子が同じ位置に存在できないことが言える。

ボソン

ボース粒子が3個の場合の波動関数はさきほど書いたフェルミオンの波動関数の間の符号を\(-\)から\(+\)に書き換るだけでよい。つまり \begin{align} \psi(1,2,3)=&\frac{1}{\sqrt{3!}}[\{\psi_{k_1}(1)\psi_{k_2}(2)\psi_{k_3}(3)+\psi_{k_2}(1)\psi_{k_3}(2)\psi_{k_1}(3)+\psi_{k_3}(1)\psi_{k_1}(2)\psi_{k_2}(3)\}\\&+\{\psi_{k_1}(1)\psi_{k_3}(2)\psi_{k_2}(3)+\psi_{k_2}(1)\psi_{k_1}(2)\psi_{k_3}(3)+\psi_{k_3}(1)\psi_{k_2}(2)\psi_{k_1}(3)\}] \end{align}

である。

3粒子が同じ位置にくる確率\(|\psi(x,x,x)|^2\)は \begin{align} |\psi(x,x,x)|^2&=\left|\frac{3!}{\sqrt{3!}}\psi_{k_1}(x)\psi_{k_2}(x)\psi_{k_3}(x)\right|^2\\&=3!P_古(x) \end{align} (ただし\(P_古(x)=|\psi_{k_1}(x)\psi_{k_2}(x)\psi_{k_3}(x)|\))

\(N\)粒子の波動関数

フェルミオン

\(N\)個のフェルミオンの場合、波動関数は \begin{align} \psi(1,2,,...,N)=\frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{bmatrix} \psi_{k_1}(1) & \psi_{k_2}(1) & ... & \psi_{k_N}(1) \\ \psi_{k_1}(2) & \psi_{k_2}(2) & ... & \psi_{k_N}(2) \\ ... & ...& ... & ...\\ \psi_{k_1}(N) & \psi_{k_2}(N) & ... & \psi_{k_N}(N) \end{bmatrix} \end{align} となる(スレーター行列式)。\(N\)粒子が同じ位置にくる確率\(|\psi(x,x,...,x)|^2\)は \[ \psi(x,x,...,x)=0 \] より \[ |\psi(x,x,...,x)|^2=0 \]