第1回 量子力学
量子力学の復習
今回は前期までに習った量子力学の総復習した。取り扱う内容は主に2つである。
古典力学は位置\(x\)と速度\(v(=\dot{x})\)で決定される。 \[m\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{dV}{dx}\] 量子力学は波動関数\(\psi(x,t)\)または、ケットベクトル\(|\psi>\)で表す。 \[x\rightarrow\hat{x}, p\rightarrow\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\] として波動関数に作用させる。 量子力学における観測量は観測したい物理量の演算子を波動関数のブラとケットで挟む。 \[<\psi|\hat{x}|\psi>,<\psi|\hat{p}|\psi>\] \[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t) \]である。ただしハミルトニアンは \[ \hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x) \] で定義される。 時刻\(t\)に粒子を区間\([x,x+dx]\)に見出す確率は \[ P(x,t)dx \] と定義され、\(P(x,t)=|\psi(x,t)|^2\)のことを確率密度という 物理量\(A\)の期待値は\(< A>\)と書き \[ < A >=\int dx\psi^*(x,t)\hat{A}\psi(x,t)=< \psi|\hat{A}|\psi> \] で定義される。このとき、\(\psi(x,t)\)が規格化されていない場合 \[ < A>=\frac{\int dx\psi^*(x,t)\hat{A}\psi(x,t)}{\int dx\psi^*(x,t)\psi(x,t)}=\frac{< \psi|\hat{A}|\psi>}{< \psi|\psi>} \] 平面波の波動関数は自由粒子に対応する。波動関数は \[ \psi(x,t)=A_1e^{i(kx-\omega t)} \] \(A_1\):規格化因子 調和振動ポテンシャルの場合、ポテンシャル\(V(x)\)と運動エネルギーは \begin{align} V(x)&=\frac{1}{2}m\omega^2x^2\\ 運動エネルギー&=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \end{align} であり、固有エネルギーは \[ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)\ \ \ \ (n=0,1,2,...) \] となり、固有関数は \[ \psi_n(x)=A_ne^{-\frac{x^2}{2\xi^2}}H_n\left(\frac{x}{\xi}\right) \] ゼロ点エネルギー \[ \frac{1}{2}\hbar\omega \] また次元を見ると \[ エネルギー:\hbar\omega \] \[ \xi\equiv\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \] 正規直交性 \[ \int dx\psi^*_m(x)\psi_n(x)=\delta_{mn}\ \ \Leftrightarrow\ <\psi_m|\psi_n>=\delta_{mn} \] 完全性 \[ \sum_n\psi_n\psi^*_n(y)=\delta(x-y)\ \ \Leftrightarrow\ |\psi_n><\psi_n|=\hat{1} \] 任意の波動関数は完全正規直交系の重ね合わせで表現できる。 \begin{align} \psi(x)&=\sum_nC_n\psi_n(x)\\ C_n&=\int dx\psi^*_n(x)\psi(x)=<\psi_n|\psi> \end{align}古典力学と量子力学の対応
古典力学
量子力学
確率解釈と物理量の期待値
確率解釈
物理量の期待値
平面波
\*1
調和振動子
正規直交系 \(\{\psi_m(x)\}\) (固有関数のセット)
せきぶんぶん
*1:k,\omega)\):粒子の状態
運動量とエネルギーはそれぞれ \begin{align} &運動量:\hbar k\\ &エネルギー:\hbar\omega=\frac{(\hbar k)^2}{2m} \end{align} であるので固有状態の式は \[ \hat{p}\psi=\hbar k \psi\\ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=\hbar\omega\psi \] となる。この場合、運動量とエネルギーが確定した状態なので不確定性原理より粒子の位置は常に不確定である。つまり \begin{align} &\Delta x=\infty,\ かつ\Delta p=o\\ &\Delta t=\infty,\ かつ\Delta E=o \end{align} したがって平面波は運動量とエネルギーは常に\(\Delta p=\Delta E=0\)を満たし、\(xとt\)は常に不確定であると言える。
一般的には不確定性関係 \begin{align} &\Delta x\Delta p\gtrsim\hbar, \ \Leftrightarrow[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar\\ &\Delta E\Delta t\gtrsim\hbar \end{align}
定常状態
定常状態とはエネルギーの定まった状態のことを言う。波動間数が \begin{align} \psi(x,t)&=Ae^{-i\omega t}\psi(x)\\ &=e^{-i\omega t}\psi(x) \end{align} と表せるとき(※規格化因子を\(\psi\)に入れた) \begin{align} i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}&=\hat{H}\psi\\ \hat{H}\psi&=E\psi \end{align} となり、固有値問題に帰着できる。(固有値: \(E_n\)固有関数:\(\psi_n(x)\
